Phương pháp viết phương trình tiếp tuyến

Chia sẻ những phương pháp để làm dạng toán viết phương trình tiếp tuyến

Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f(x):
            1.  Tại một điểmM_{0}(x_0;y_0)trên đồ thị.
            2.  Tại điểm có hoành độx_0trên đồ thị.
            3.  Tại điểm có tung độy_0trên đồ thị.
            4.  Tại giao điểm của đồ thị với trục tungOy.
            5.  Tại giao điểm của đồ thị với trục hoànhOx.

*Phương pháp:

Phương trình tiếp tuyến(PTTT) : Của (C): y=f(x)tạiM_{0}(x_{0};y_{0})

  y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)(1)

Viết được(1)là phải tìm x_0;y_0f'(x_0)là hệ số góc của tiếp tuyến.

Giải các câu trên lần lượt như sau

Câu 1:

- Tínhy'=f'(x). Rồi tínhf'(x_0).
- Viết PTTT: y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)

Câu 2:

- Tínhy'=f'(x). Rồi tínhf'(x_0).
- Tính tung độy_0=f(x_0),(bằng cách) thayx_0)vào biểu thức của hàm số để tínhy_0.
- Viết PTTT:y-y_0=f'(x_0)(x-x_0).

Câu 3:

- Tính hoành độx_0 bằng cách giải ptf(x)=y_0.

- Tính y'=f'(x). Rồi tínhf'(x_0).

- Sau khi tìm đượcy_0x_0thì viết PTTT tại mỗi điểm(x_0;y_0)tìm được.

Câu 4: 

      -     Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị với trụcOy: Chox_0=0và tínhy_0;
      –     Tínhy'=f'(x). Rồi tínhf'(x_0)=f'(0);
      -     Viết PTTT::y-y_0=f'(0)(x-0).

Câu 5:

     -     Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị với trụcOx: Choy_0=0và tínhx_0;
      –     Tínhy'=f'(x). Rồi tínhf'(x_0) tại các giá trịx_0 vừa tìm được;
      –     Viết PTTT::y-0=f'(x_0)(x-y_{0}).

 Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f(x):

                    a) biết rằng tiếp tuyến song song với đuờng thẳng y=ax+b.                  

                   b) biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=ax+b.

Phương pháp:

  • Tính y'
  • Giải phương trình y'=k \Rightarrowx_0
  • Tính y_0
  • Thay vào phương trình y-y_0=k\left({x-x_0}\right)

Chú ý:

  • Tiếp tuyến song song với đường thẳng y=kx+b sẽ có hệ số góc k
  • Tiếp tuyến vuông góc  với đường thẳng y=kx+b sẽ có hệ số góc \frac{-1}{k}

Bài tập vận dụng:

Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=\frac{x^3}{3}-2x^2+3x+1

biết rằng tiếp tuyến song song với đường thẳng y=3x

Bài 2: Cho hàm số y=(2m-1)x^4-(m+\frac{1}{4})x^2-m+\frac{5}{4}

Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x=-1 vuông góc với đường thẳng y=2x-3

Bài 3: Cho (C) y=f(x)=x^3-3x^2+2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến này vuông góc với 5y-3x+4=0.

Bài 4: Cho (C) y=f(x)=2x^3-3x^2-12x-5

a) Viết phương trình tiếp tuyến cới (C) biết tiếp tuyến này song song với $y=6x-4$

b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến này vuông góc với y=-\frac{1}{3}+2

c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến tạo với -\frac{1}{2}x+5 góc 45^0.

Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước đến đồ thị.

Phương pháp : Sử dụng điều kiện tiếp xúc

Hai đường thẳng y=f(x)y=g(x) tiếp xúc tai điểm hoành độ x_0 khi x_0 là ngiệm của hệ

\left\{\begin{array}{l} f(x)=g(x) \\ f'(x)=g'(x) \end{array}\right.

 Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(2;0) đến (C) y=x^3-x-6?

Hướng dẫn giải:

  • Gọi (d) là phương trình tiếp tuyến đi qua A(2;0) và có hệ số góc k có dạng:

                y-0=k(x-2) \Leftrightarrow y=kx-2k

  • Phương trình hoành độ giao điểm chung của (C)(d) là :

               \left\{\begin{array}{l} x^3-x-6=k(x-2) \\ 3x^{2}-1=k \end{array}\right.

  • Giải hệ trên tìm được \left[ \begin{array}{l} k=2 \\ k=11 \end{array} \right.
  • Vậy có hai tiếp tuyến với (C) đi qua A(2;0).

                (d_1):y=2x-4

               (d_2):y=11x-22

Bài tập:

1. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(\frac{2}{3};-1) đến y=x^3-3x+1

2. Có bao nhiêu tiếp tuyến đia qua A(1;-4) đến đồ thị (C):y=2x^3+3x^2-5

 

                                                                                               Sưu tầm và biên soạn ( tham khảo tài liệu tại violet.vn)