Phương pháp mũ hóa và logarit hóa

Mũ hoá, lôgarit hoá .Bài viết trước đã nói về việc giải phương trình mũ và lôgarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ. Bài viết này chúng ta sẽ nói đến một phương pháp khác là mũ hóa và lôgarit hóa. Trong một số phương trình, để đưa về cùng cơ số hoặc khử biểu thức mũ, lôgarit chứa ẩn số, ta thường lấy mũ hoặc lôgarit các vế.

Ta áp dụng các công thức

    \begin{align*}      a^M=a^N &\Leftrightarrow M=N;\\      \log_aM=\log_aN &\Leftrightarrow M=N>0;\\      \log_aN=M &\Leftrightarrow N=a^M.     \end{align*}” src=”http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0b462085ebd9654730d633a40a68c83d_l3.png” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” /></span></span></p>
<p style=trong đó a>0, a\not=1″ src=”http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d5bd0fe79ded2871c576814386aa302a_l3.png” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” />.</span></span></p>
<p style=Ví dụ
Giải các phương trình

a) 3^x.2^{x^2}=1;
b) 2^{3^x}=3^{2^x};
c) 32^{\frac{x+5}{x-7}}=0,25.125^{\frac{x+17}{x-3}};
d) 2^{x+2}.3^x=4^x.5^{x-1}.

Lời giải a) Lấy lôgarit cơ số 3 hai vế, ta có phương trình tương đương với

    \[\log_3(3^x.2^{x^2})=\log_31\Leftrightarrow \log_33^x+\log_32^{x^2}=0\Leftrightarrow x+x^2\log32=0.\]

Do đó phương trình có hai nghiệm là x=0, x=\dfrac{-1}{\log_32}=-\log_23.
b) Lấy lôgarit cơ số 2 hai vế ta được phương trình tương đương

    \[\log_22^{3^x}=\log_23^{2^x}\Leftrightarrow 3^x=2^x.\log_23\Leftrightarrow \Big (\dfrac{3}{2}\Big )^x=\log_23.\]

Do đó x=\log_{\frac{3}{2}}\log_23 là nghiệm của phương trình.
c) Phương trình đã cho tương đương với

    \[2^{5.\frac{x+5}{x-7}}=2^{-2}.5^{3.\frac{x+17}{x-3}}\Leftrightarrow 2^{\frac{7x+11}{x-7}}=5^{\frac{3x+51}{x-3}}.\]

Lấy lôgarit cơ số 2 hai vế ta được

    \begin{align*}     & \dfrac{7x+11}{x-7}=\dfrac{3x+51}{x-3}\log_25\\ \Leftrightarrow\ & \begin{cases} x\not=7, x\not=3,\\ (7-3\log_25)x^2-2(5+15\log_2x)x-(33-357\log_25)=0.\end{cases}  \end{align*}

Phương trình bậc hai trên có

    \[\Delta '=1296\log_2^25-2448\log_25+256>0,\]” src=”http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4369a0b334ac257a9467769f8cc6cccd_l3.png” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” /></span></span></p>
<p style=nên có nghiệm

    \[x=\dfrac{5+15\log_25\pm\sqrt{\Delta '}}{7-3\log_25}.\]

Hai nghiệm này đều thoả mãn vì chúng đều khác 73.
d) Lấy lôgarit cơ số 10 hai vế ta có

    \begin{align*}   &\ \lg 2^{x+2}+\lg 3^x=\lg 4^x+\lg 5^{x-1}\\   \Leftrightarrow\ \ &(x+2)\lg 2+x\lg 3=x\lg 4+(x-1)\lg 5\\   \Leftrightarrow\ \ &x(\lg 4+\lg 5-\lg 3-\lg 2)=2\lg 2+\lg 5\\   \Leftrightarrow\ \ &x.\lg\dfrac{4.5}{3.2}=\lg (2^2.5) \Leftrightarrow\ x=\dfrac{\lg 20}{\lg\dfrac{10}{3}}.    \end{align*}

Vậy nghiệm của phương trình là x=\dfrac{\lg 20}{\lg\dfrac{10}{3}}.

Ví dụ
Giải các phương trình

    \[\mbox{a) } \log_x\sqrt[10]{2}=-0,01;\qquad\qquad \qquad \mbox{b) } \log_{x-2}(2x)=3.\]

Lời giải a) Điều kiện x>0, x\not=1″ src=”http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-92de9fcf155687b38b7f0ad704973e79_l3.png” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” />. Mũ hoá hai vế lên bằng cơ số <img alt=, ta có

    \[x^{\log_x\sqrt[10]{2}}=x^{-0,01}\Leftrightarrow 2^{\frac{1}{10}}=x^{\frac{-1}{100}}.\]

Do đó

    \[x=\Big (2^{\frac{1}{10}}\Big )^{-100}=2^{-10}=\dfrac{1}{1024}.\]

b) Điều kiện x>2, x\not=3″ src=”http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3113dfaa82d09929b725f4cb0ea6e17c_l3.png” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” />. Mũ hoá hai vế bởi cơ số <img alt=, ta có

    \[2x=(x-2)^3\Leftrightarrow x^3-6x^2+12x-8=0\Leftrightarrow (x-4)(x^2-2x+2)=0.\]

x^2-2x+2>0″ src=”http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ac8a1eb137f2a1e6fdb59db789752ecd_l3.png” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” /> nên <img alt= hay x=4 (thoả mãn).
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x=4.

Bài tập đề nghị

Bài tập
Giải các phương trình

a) x^{\lg 9}+9^{\lg x}=6;
b) x^\frac{1}{\lg x}=10^{x^4};
c) x^{3\lg^3x-\frac{2}{3}\lg x}=100\sqrt[3]{10};
d) 6^{x^2}.7^{x-1}=8^x.9^{x-1}.

Hướng dẫn a) Điều kiện x>0″ src=”http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d63a1ae70784ae7abbda78bddf170dfc_l3.png” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” />. Ta có</span></span></p>
<p style=    \[\lg x^{\lg 9}=\lg 9.\lg x=\lg x.\lg 9=\lg 9^{\lg x}.\]

Do đó x^{\lg 9}=9^{\lg x}. ĐS: x=\sqrt{10}.
b) Lôgarit cơ số 10 hai vế. ĐS Phương trình vô nghiệm.
c) Lôgarit cơ số 10 hai vế, đặt t=\lg x. ĐS x=10, x=\dfrac{1}{10}.
d) Lấy lôgarit cơ số bất kì cả hai vế, đưa về phương trình bậc hai của x.

 

Theo: mathblog.org