Một số phương pháp giải phương trình mũ và logarit

Bên cạnh các cách giải phương trình truyền thống, chúng ta còn có rất nhiều cách giải độc đáo khác. Trong phần này chúng tôi xin giới thiệu một số phương pháp khác, đó là: biến thiên hằng số, sử dụng định lí Lagrange, định lí Rolle, phương pháp đánh giá và phương pháp hàm số.

Phương pháp biến thiên hằng số

Trong phương pháp này, ta đổi vai trò của ẩn cần tìm với hằng số: coi hằng số là ẩn và ẩn là hằng số.
Ví dụ
Giải phương trình

    \[4^{2x}+2^{3x+1}+2^{x+3}-16=0.\]

Lời giải. Đặt t=2^x \ (t>0)” src=”http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9279d0ef7c73bac7087c08e93a50c3f0_l3.png” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” /> thì phương trình trở thành</span></span></p>
<p style=    \[t^4+2t^3+8t-16=0.\]

Ta viết lại phương trình này thành

    \[4^2-2t.4-(t^4+2t^3)=0.\]

Bây giờ ta coi 4=u là một ẩn của phương trình, còn t là số đã biết. Phương trình trở thành phương trình bậc hai đối với ẩn u. Tính \Delta ', ta có

    \[\Delta '=(-t)^2+(t^4+2t^3)=(t^2+t)^2.\]

Do đó \left [\begin{matrix}{}u=t-t(t+1)\\ u=t+t(t+1) \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left [\begin{matrix}{}4=-t^2\\ 4=t^2+2t \end{matrix}\right.\Leftrightarrow t^2+2t-4=0

    \[\Leftrightarrow \left [\begin{matrix}{}t=-1-\sqrt{5}&\mbox{ (loai)}\\ t=-1+\sqrt{5}&\mbox{ (thoa man)}\end{matrix}\right.\]

Suy ra 2^x=\sqrt{5}-1\Leftrightarrow x=\log_2(\sqrt{5}+1).

Bài tập tương tự
Giải phương trình \lg ^4x+\lg ^3x-2\lg ^2x-9\lg x-9=0.
Hướng dẫn. Đặt t=\lg x, viết lại phương trình ở dạng

    \[3^2+3t.3-(t^4+t^3-2t^2)=0.\]

Coi 3=u là ẩn, giải phương trình bậc hai theo ẩn u, \Delta =(2t^2+t)^2, tìm được

    \[\left [\begin{matrix}{}u&=&-t^2-2t,\\ u&=&t^2-t\end{matrix}\right.\mbox{ va }\left [\begin{matrix}{}x=10^{\frac{1+\sqrt{13}}{2}}\\ x=10^{\frac{1-\sqrt{13}}{2}}\end{matrix}\right.\]

Sử dụng định lí Lagrange, định lí Rolle

Định lí Lagrange: Giả sử f :\ [a; b]\longrightarrow \mathbb{R} là hàm thỏa mãn

i) f liên tục trên [a; b];
ii) f có đạo hàm trên (a; b).

Khi đó tồn tại c\in (a; b) sao cho f(b)-f(a)=f'(c).(b-a).
Định lí Rolle (hệ quả của định lí Lagrange): Giả sử f :\ [a; b]\longrightarrow \mathbb{R} là hàm thỏa mãn

i) f liên tục trên [a; b];
ii) f có đạo hàm trên (a; b);
iii) f(a)=f(b).

Khi đó tồn tại c\in (a; b) sao cho f'(c)=0.
Ví dụ
Giải phương trình

    \[3^{\cos x}-2^{\cos x}=\cos x.\]

Lời giải. Viết lại phương trình dưới dạng

    \[3^{\cos x}-3\cos x=2^{\cos x}-2\cos x.\]

Giả sử phương trình có nghiệm là \alpha, khi đó

    \[3^{\cos \alpha}-3\cos \alpha=2^{\cos \alpha}-2\cos \alpha.\]

Xét hàm số f(t)=t^{\cos\alpha}-t\cos\alpha, ta có f'(x)=(t^{\cos\alpha-1}-1)\cos\alpha.
Khi đó f(3)=f(2)f(t) có đạo hàm liên tục trên [2; 3], theo định lí Lagrange thì tồn tại c\in [2; 3], sao cho

    \[f'(c)=\dfrac{f(3)-f(2)}{3-2}\mbox{  hay } (c^{\cos\alpha-1}-1)\cos\alpha=0.\]

Từ đó suy ra

    \[\left [\begin{matrix}{}\cos\alpha=0\\ \cos\alpha=1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left [\begin{matrix}{}\alpha&=&\dfrac{\pi}{2}+k\pi\\ \alpha&=&k2\pi& \end{matrix}\right.\quad (k\in\mathbb{Z}).\]

Thử lại ta thấy các giá trị này đều thoả mãn.
Vậy nghiệm của phương trình là x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi, x=k2\pi \ \ (k\in\mathbb{Z}).

Ví dụ
Giải phương trình

    \[4^{\log_3x}+2^{\log_3x}=2x.\]

Lời giải. Điều kiện x>0″ src=”http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d63a1ae70784ae7abbda78bddf170dfc_l3.png” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” />. Đặt <img alt= thì x=3^u. Khi đó phương trình trở thành

    \[4^u+2^u=2.3^u\Leftrightarrow 4^u-3^u=3^u-2^u.\]

Giả sử phương trình ẩn u này có nghiệm là \alpha, tức là \ 4^\alpha-3^\alpha=3^\alpha-2^\alpha.
Xét hàm số f(t)=(t+1)^\alpha-t^\alpha,\ t>0″ src=”http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5e8a1e6844faa5b2020579ec22d3a87c_l3.png” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” />, ta có <img alt=.
Khi đó ta có f(3)=f(2), f(t) có đạo hàm liên tục trên [2; 3]. Theo định lí Lagrange, tồn tại c\in [2; 3] sao cho f'(c)=0

    \[\Leftrightarrow \alpha [(c+1)^{\alpha-1}-c^{\alpha-1}]=0\Leftrightarrow\left [ \begin{matrix}{}\alpha=0\\ \alpha=1 \end{matrix}\right.\]

Thử lại thấy u=\alpha=0u=\alpha=1 đều thoả mãn. Từ đó tìm được x=1, x=3.

Bài tập tương tự
Bài tập.
Giải các phương trình

    \[\mbox{a) } 3^x+5^x=2.4^x; \qquad\qquad \mbox{ b) } 6^x+2^x=5^x+3^x.\]

Hướng dẫn. a) Chuyển về dạng 5^x-4^x=4^x-3^x. Giải tương tự ví dụ trên.
b) Chuyển về dạng 6^x-5^x=3^x-2^x. Giải tương tự.

Bài tập.
Cho \dfrac{a}{3}+\dfrac{b}{2}+c=0. Chứng minh rằng phương trình

    \[a.2^{2x}+b.2^{x}+c=0\]

luôn có nghiệm.
Hướng dẫn. Đặt t=2^x \ (t>0)” src=”http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9279d0ef7c73bac7087c08e93a50c3f0_l3.png” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” />, xét hàm số <img alt= có đạo hàm liên tục trên (0; +\infty)F(1)-F(0)=\dfrac{a}{3}+\dfrac{b}{2}+c=0. Theo định lí Lagrange thì tồn tại ít nhất một số k\in (0; 1) sao cho F'(k)=ak^2+bk+c=0. Do đó x=\log_2k là nghiệm của phương trình đã cho.

Bài tập.
Cho \dfrac{a}{2008}+\dfrac{b}{2007}+\dfrac{c}{2006}=0. Chứng minh rằng phương trình

    \[a\lg^2x+b\lg x+c=0\]

luôn có nghiệm dương.
Hướng dẫn. Tương tự, đặt t=\lg x xét F(t)=\dfrac{a.t^{2008}}{2008}+\dfrac{b.t^{2007}}{2007}+\dfrac{c.t^{2006}}{2006}.

Phương pháp đánh giá

Ví dụ
Giải phương trình

    \[3^{\sin ^2x}+3^{\cos ^2x}=2^x+2^{-2}+2.\]

Lời giải. Phương trình tương đương với

    \begin{align*} &3^{\sin ^2x}+3^{1-\sin ^2x}=2^x+2^{-2}+2\\ \Leftrightarrow\ &\dfrac{3^{2\sin ^2x}+3}{3^{\sin ^2x}}-4=2^{2.\frac{x}{2}}+2^{2.\frac{-x}{2}}-2\\ \Leftrightarrow\ &\dfrac{(3^{\sin ^2x}-1)(3^{\sin ^2x}-3)}{3^{\sin ^2x}}=\bigg (2^{\frac{x}{2}}-2^{\frac{-x}{2}}\bigg )^2. \end{align*}

0\le \sin ^2x \le 1 nên 1\le 3^{\sin ^2x}\le 3. Suy ra VT\le 0\le VP và phương trình trên tương đương với hệ
\begin{cases} (3^{\sin ^2x}-1)(3^{\sin ^2x}-3)=0,\\ 2^{\frac{x}{2}}-2^{\frac{-x}{2}}=0.\end{cases}
Từ phương trình thứ hai, dễ dàng suy ra x=0 (thỏa mãn). Vậy x=0 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.

Ví dụ
Giải phương trình

    \[2^{x+2}+3^{x+2}=3^{2x+1}+2^{2x+1}.\]

Lời giải. Phương trình đã cho tương đương với phương trình

    \[3^{x+2}-3^{2x+1}=2^{2x+1}-2^{x+2}.\]

Dễ thấy x=1 là nghiệm của phương trình.
Nếu x>1″ src=”http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5a63f080149f3d0e5aa7547043c19f49_l3.png” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” /> thì <img alt=, do đó

    \[3^{x+2}<3^{2x+1};\ 2^{2x+1}>2^{x+2}.\]” src=”http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e4a9aadf410f0a8bcd8b6f7d03e6bf4f_l3.png” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” /></span></span></p>
<p style=Hay VT<0<VP, phương trình vô nghiệm.
Tương tự, nếu x<1 thì phương trình cũng vô nghiệm.
Vậy x=1 là nghiệm duy nhất của phương trình.

Bài tập tương tự
Bài tập.
Giải phương trình \log_2x+\log_3(x+1)=\log_4 (x+2)+\log_5 (x+3).
Hướng dẫn. Điều kiện x>0″ src=”http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d63a1ae70784ae7abbda78bddf170dfc_l3.png” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” />. Nhận thấy <img alt= là nghiệm. Nếu x>2″ src=”http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c77a4dc068eaf65b731d848c779e4fad_l3.png” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” /> thì</span></span></p>
<p style=    \[\dfrac{x}{2}>\dfrac{x+2}{4}>1;\ \dfrac{x+1}{3}>\dfrac{x+3}{5}>1.\]” src=”http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8469566ef5a4eb428742509219be64d8_l3.png” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” /></span></span></p>
<p style=Suy ra

    \begin{align*} &\log_2\dfrac{x}{2}>\log_2\dfrac{x+2}{4}>\log_4\dfrac{x+2}{4}\mbox{ hay }\log_2x>\log_4(x+2);\\ &\log_3\dfrac{x+1}{3}>\log_3\dfrac{x+3}{5}>\log_5\dfrac{x+3}{5}\mbox{ hay }\log_3(x+1)>\log_5(x+3). \end{align*}” src=”http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6556158dcba8b2a61b0f75d56d146f6b_l3.png” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” /></span></span></p>
<p style=Suy ra VT>VP” src=”http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e8c57bb22731a6b347edd69915a5b066_l3.png” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” />, phương trình vô nghiệm. Tương tự khi <img alt= thì

    \[0<\dfrac{x}{2}<\dfrac{x+2}{4}<1; \ 0<\dfrac{x+1}{3}<\dfrac{x+3}{5}<1.\]

Suy ra

    \begin{align*} &\log_2\dfrac{x}{2}<\log_2\dfrac{x+2}{4}<\log_4\dfrac{x+2}{4}\mbox{ hay }\log_2x<\log_4(x+2);\\ &\log_3\dfrac{x+1}{3}<\log_3\dfrac{x+3}{5}<\log_5\dfrac{x+3}{5}\mbox{ hay }\log_3(x+1)<\log_5(x+3). \end{align*}

Suy ra VT<VP, phương trình vô nghiệm. ĐS x=2.

Bài tập.
Giải phương trình \ \log_2x+\log_5(2x+1)=2.
Hướng dẫn. Điều kiện x>0″ src=”http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d63a1ae70784ae7abbda78bddf170dfc_l3.png” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” />. Nhận thấy <img alt= là nghiệm. Nếu x>2″ src=”http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c77a4dc068eaf65b731d848c779e4fad_l3.png” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” /> thì</span></span></p>
<p style=    \[\log_2x>\log_22=1;\ \log_5(2x+1)>\log_5(2.2+1)=1.\]” src=”http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6a29966ea6c73eb259283378016bf8a0_l3.png” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” /></span></span></p>
<p style=Suy ra phương trình vô nghiệm. Tương tự khi 0<x<2. ĐS x=2.

Bài tập.
Giải phương trình \ \log_x(x+1)=\lg 1,5.
Hướng dẫn. Điều kiện x>0;\ x\not=1″ src=”http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-79a02948caa0c64e42d48110a4d54be2_l3.png” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” />. Nếu <img alt= thì x+1>1″ src=”http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-21d21969243f77bcfecc2d394328accc_l3.png” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” />, do đó</span></span></p>
<p style=    \[\log_x (x+1)<\log_x1=0=\lg 1<\lg 1,5.\]

Do đó phương trình vô nghiệm. Tương tự, khi x>1″ src=”http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5a63f080149f3d0e5aa7547043c19f49_l3.png” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” /> thì</span></span></p>
<p style=    \[\log_x(x+1)>\log_xx=1=\lg 10>\lg 1,5.\]” src=”http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-35a752156b370f2cb26cd856c05872c4_l3.png” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” /></span></span></p>
<p style=ĐS: Phương trình vô nghiệm.

Phương pháp hàm số

PP: Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến của hảm số, đưa việc giải phương trình mũ, phương trình lôgarit về giải phương trình đại số (nhờ tính chất: Nếu f(u) đơn điệu và f(u)=f(v) thì u=v.
Ví dụ
Giải phương trình

    \[2^{\frac{1-x^2}{x^2}}-2^{\frac{1-2x}{x^2}}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{x}.\]

Lời giải. Điều kiện x\not =0. Nhận thấy

    \[\dfrac{1-2x}{x^2}-\dfrac{1-x^2}{x^2}=\dfrac{x^2-2x}{x^2}=1-\dfrac{2}{x}=2\bigg (\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{x}\bigg ).\]

Do đó phương trình tương đương với phương trình

    \begin{align*} &2^{\frac{1-x^2}{x^2}}-2^{\frac{1-2x}{x^2}}=\dfrac{1}{2}\bigg (\dfrac{1-2x}{x^2}-\dfrac{1-x^2}{x^2}\bigg )\\ \Leftrightarrow\ &2^{\frac{1-x^2}{x^2}}+\dfrac{1}{2}.\dfrac{1-x^2}{x^2}=2^{\frac{1-2x}{x^2}}+\dfrac{1}{2}.\dfrac{1-2x}{x^2}. \end{align*}

Mặt khác f(t)=2^t+\dfrac{t}{2} là hàm số đồng biến trên \mathbb{R}, do đó từ

    \[f\bigg (\dfrac{1-x^2}{x^2}\bigg )=f\bigg (\dfrac{1-2x}{x^2}\bigg )\]

suy ra

    \[\dfrac{1-x^2}{x^2}=\dfrac{1-2x}{x^2}.\]

Từ đó dễ dàng tìm được x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình.

Ví dụ
Giải phương trình

    \[5^{x-2}=5^{x^2-x-1}+(x-1)^2.\]

Lời giải. Phương trình tương đương với

    \begin{align*} &5^{x-2}-x-1=5^{x^2-x-1}+x^2-x\\ \Leftrightarrow\ &5^{x-1}+5(x-1)=5^{x^2-x}+5(x^2-x). \end{align*}

Xét f(t)=5^t+5t\ (t\in\mathbb{R}). Dễ thấy f(t) luôn đồng biến. Mặt khác

    \[f(x-1)=f(x^2-x),\]

do đó

    \[x-1=x^2-x.\]

Từ đó dễ dàng tìm được x=1 là nghiệm duy nhất của phương trình.

Bài tập tương tự
Bài tập.
Giải phương trình \dfrac{18^x+32^x-12^x-16^x}{27^x+36^x+48^x+64^x}=\dfrac{-5}{2x}.
Hướng dẫn. Viết phương trình về dạng \dfrac{2^x}{3^x+4^x}-\dfrac{4^x}{9^x+16^x}=\dfrac{-5}{2x}, hay

    \[\dfrac{2^x}{3^x+4^x}+\dfrac{5}{x}=\dfrac{2^{2x}}{3^{2x}+4^{2x}}+\dfrac{5}{2x}.\]

Xét hàm số f(t)=\dfrac{2^t}{3^t+4^t}+\dfrac{5}{t} luôn đồng biến. ĐS: Phương trình vô nghiệm.

Bài tập.
Giải phương trình 2^{2^x}+3^{2^x}=2^x+3^{x+1}+x+1.
Hướng dẫn. Cộng thêm 2^x vào cả hai vế, viết phương trình về dạng

    \[2^{2^x}+3^{2^x}+2^x=2^{x+1}+3^{x+1}+x+1.\]

Xét hàm số f(t)=2^t+3^t+t\ (t\in\mathbb{R}).

Bài tập.
Giải phương trình 2x^2-6x+2=\log_2\dfrac{2x+1}{(x-1)^2}.
Hướng dẫn. Điều kiện x>\dfrac{-1}{2},\ x\not=1″ src=”http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-29c8a8894d40a64372285feed5195c5b_l3.png” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” />. Viết phương trình về dạng</span></span></p>
<p style=    \[2(x-1)^2+\log_2[2(x-1)^2]=(2x+1)+\log_2(2x+1).\]

Xét hàm số f(t)=t+\log_2t\ (t>0)” src=”http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0c5f181fbec588101c65e0e57a552bc7_l3.png” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” />. ĐS: <img alt=.

Bài tập.
Giải phương trình \dfrac{2x^2+1}{x^2+2}=\dfrac{3^{\sqrt{x^2+2}}}{3^{\sqrt{2x^2+1}}}.
Hướng dẫn. Lôgarit cơ số 3 hai vế, viết phương trình về dạng

    \[\log_3(2x^2+1)+\sqrt{2x^2+1}=\log_3(x^2+2)+\sqrt{x^2+2}.\]

Xét hàm số f(t)=\log_3t+\sqrt{t} \ (t>0)” src=”http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e704e3811dd1d8ff8f8ab64d73c81397_l3.png” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” />. ĐS: <img alt=.

Bài tập.
Giải phương trình 2.2^{(\sqrt{x-2})^2}=\log_2 (2x).
Hướng dẫn. Điều kiện x\ge 2. Biến đổi phương trình về \ 2^{x-1}=\log_2 (2x).
Đặt y=2^{x-1}, \ y\ge 2 thì x=1+\log_2 y=\log_2 (2y). Từ đó ta có hệ

    \[\begin{cases} y=\log_2 (2x),\\ x=\log_2 (2y), \\x, y\ge 2 \Leftrightarrow \begin{cases} 2^y=2x,\\ 2^x=2y,\\ x, y\ge 2.\end{cases}\]

Từ đó suy ra \ y.2^y=x.2^x. Xét hàm số \ f(t)=t.2^t \ (t\ge 2) đồng biến. Suy ra x=y.
ĐS: x=1, \ x=2.

 

Theo: mathblog.org